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本卷共 22 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 6 题
简单题 6 题，中等难度 10 题，困难题 6 题。总体难度: 中等
单选题 共 12 题

  1. 对任意复数，为虚数单位，则下列结论中正确的是（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知命题：，，若是真命题，则实数的取值范围为（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知一组样本点，其中.根据最小二乘法求得的回归方程是，则下列说法正确的是（　　 ）

    A. 若所有样本点都在上，则变量间的相关系数为1

    B. 至少有一个样本点落在回归直线上

    C. 对所有的预报变量，的值一定与有误差

    D. 若斜率，则变量与正相关

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 函数在其定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（　　 ）

    A. 　　 B.

    C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 在中，，，分别为角，，所对的边，若，则（　　 ）

    A. 一定是锐角三角形　　 B. 一定是钝角三角形

    C. 一定是直角三角形　　 D. 一定是斜三角形

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 设随机变量服从正态分布，，则（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程确定出来，类似的不难得到（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

  8. 已知点P是双曲线上一点，若，则△的面积为（　　）

    A. 　　 B. 　　 C. 5　　 D. 10

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则（　　 ）

    A. 10　　 B. 20　　 C. 30　　 D. 40

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 已知，均为正实数，且，则的最小值为（　　 ）

    A. 20　　 B. 24　　 C. 28　　 D. 32

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（　　 ）

    A. 300种　　 B. 150种　　 C. 120种　　 D. 90种

    难度: 困难查看答案及解析

  12. 若函数图象上存在两个点，关于原点对称，则对称点为函数的“孪生点对”，且点对与可看作同一个“孪生点对”.若函数恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为（　　 ）

    A. 0　　 B. 2　　 C. 4　　 D. 6

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 用数学归纳法证明 时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是__________．

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知，则=______．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知球的半径为1，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是__________．

    难度: 困难查看答案及解析

  4. 如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为__________海里．

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 6 题

  1. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）

    平均每天锻炼的时间/分钟

    总人数

    20

    36

    44

    50

    40

    10

    将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”.

    （Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；

    课外体育不达标

    课外体育达标

    合计

    男

    女

    20

    110

    合计

    （Ⅱ）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？

    参考公式，其中.

    0.25

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    1.323

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：

    交强险浮动因素和浮动费率比率表

    浮动因素

    浮动比率

    上一个年度未发生有责任道路交通事故

    下浮

    上两个年度未发生有责任道路交通事故

    下浮

    上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故

    下浮

    上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故

    上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故

    上浮

    上一个年度发生有责任道路交通死亡事故

    上浮

    某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

    类型

    数量

    20

    10

    10

    20

    15

    5

    以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：

    （Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，.某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）

    （Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故盈利8000元：

    ①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；

    ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知数列的前项和为，且，.

    （Ⅰ）试计算，，，，并猜想的表达式；

    （Ⅱ）求出的表达式，并证明（Ⅰ）中你的猜想.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 如图，在中，，点在线段上.过点作交于点，将沿折起到的位置（点与重合），使得.

    （Ⅰ）求证：.

    （Ⅱ）试问：当点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知椭圆：的离心率为，点，分别为椭圆的左右顶点，点在上，且面积的最大值为.

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）设为的左焦点，点在直线上，过作的垂线交椭圆于，两点.证明：直线平分线段.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 设函数.

    （1）当时，求的极值；

    （2）当时，证明： .

    难度: 困难查看答案及解析