阅读下面材料,完成后面题目.
0°-360°间的角的三角函数
在初中,我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数,即在图1所示的直角三角形ABC,∠A是锐角,那么sinA=,cosA=,tanA=,cotA=
为了研究需要,我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义:
设有一个角α,我们以它的顶点作为原点,以它的始边作为x轴的正半轴ox,建立直角坐标系(图2),在角α的终边上任取一点P,它的横坐标是x,纵坐标是y,点P和原点(0,0)的距离为r=(r总是正的),然后把角α的三角函数规定为:sinα=,cosα=,tanα=,cotα=
我们知道,图1的四个比值的大小与角A的大小有关,而与直角三角形的大小无关,同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关,而与点P在角α的终边位置无关.
比较图1与图2,可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的,根据第二种定义回答下列问题.
(1)若90°<α<180°,则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα,其中取正值的是哪几个?
(2)若角α的终边与直线y=2x重合,求sinα+cosα的值.
(3)若角α是钝角,其终边上一点P(x,),且cosα=x,求tanα的值.
(4)若0°≤α≤90°,求sinα+cosα的取值范围.
九年级数学解答题中等难度题
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0°-360°间的角的三角函数
在初中,我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数,即在图1所示的直角三角形ABC,∠A是锐角,那么sinA=,cosA=,tanA=,cotA=
为了研究需要,我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义:
设有一个角α,我们以它的顶点作为原点,以它的始边作为x轴的正半轴ox,建立直角坐标系(图2),在角α的终边上任取一点P,它的横坐标是x,纵坐标是y,点P和原点(0,0)的距离为r=(r总是正的),然后把角α的三角函数规定为:sinα=,cosα=,tanα=,cotα=
我们知道,图1的四个比值的大小与角A的大小有关,而与直角三角形的大小无关,同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关,而与点P在角α的终边位置无关.
比较图1与图2,可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的,根据第二种定义回答下列问题.
(1)若90°<α<180°,则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα,其中取正值的是哪几个?
(2)若角α的终边与直线y=2x重合,求sinα+cosα的值.
(3)若角α是钝角,其终边上一点P(x,),且cosα=x,求tanα的值.
(4)若0°≤α≤90°,求sinα+cosα的取值范围.
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在“解直角三角形”一章我们学习到“锐角的正弦、余弦、正切都是锐角的函数,统称为锐角三角函数” .
小力根据学习函数的经验,对锐角的正弦函数进行了探究. 下面是小力的探究过程,请补充完成:
(1)函数的定义是:“一般地,在一个变化的过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,我们就把x称为自变量,y称为因变量,y是x的函数”.由函数定义可知,锐角的正弦函数的自变量是 ,因变量是 ,自变量的取值范围是___________.
(2)利用描点法画函数的图象. 小力先上网查到了整锐角的正弦值,如下:
sin1°=0.01745240643728351 sin2°=0.03489949670250097 sin3°=0.05233595624294383
sin4°=0.0697564737441253 sin5°=0.08715574274765816 sin6°=0.10452846326765346
sin7°=0.12186934340514747 sin8°=0.13917310096006544 sin9°=0.15643446504023087
sin10°=0.17364817766693033 sin11°=0.1908089953765448 sin12°=0.20791169081775931
sin13°=0.22495105434386497 sin14°=0.24192189559966773 sin15°=0.25881904510252074
sin16°=0.27563735581699916 sin17°=0.2923717047227367 sin18°=0.3090169943749474
sin19°=0.3255681544571567 sin20°=0.3420201433256687 sin21°=0.35836794954530027
sin22°=0.374606593415912 sin23°=0.3907311284892737 sin24°=0.40673664307580015
sin25°=0.42261826174069944 sin26°=0.4383711467890774 sin27°=0.45399049973954675
sin28°=0.4694715627858908 sin29°=0.48480962024633706 sin30°=0.5000000000000000
sin31°=0.5150380749100542 sin32°=0.5299192642332049 sin33°=0.544639035015027
sin34°=0.5591929034707468 sin35°=0.573576436351046 sin36°=0.5877852522924731
sin37°=0.6018150231520483 sin38°=0.6156614753256583 sin39°=0.6293203910498375
sin40°=0.6427876096865392 sin41°=0.6560590289905073 sin42°=0.6691306063588582
sin43°=0.6819983600624985 sin44°=0.6946583704589972 sin45°=0.7071067811865475
sin46°=0.7193398003386511 sin47°=0.7313537016191705 sin48°=0.7431448254773941
sin49°=0.7547095802227719 sin50°=0.766044443118978 sin51°=0.7771459614569708
sin52°=0.7880107536067219 sin53°=0.7986355100472928 sin54°=0.8090169943749474
sin55°=0.8191520442889918 sin56°=0.8290375725550417 sin57°=0.8386705679454239
sin58°=0.848048096156426 sin59°=0.8571673007021122 sin60°=0.8660254037844386
sin61°=0.8746197071393957 sin62°=0.8829475928589269 sin63°=0.8910065241883678
sin64°=0.898794046299167 sin65°=0.9063077870366499 sin66°=0.9135454576426009
sin67°=0.9205048534524404 sin68°=0.9271838545667873 sin69°=0.9335804264972017
sin70°=0.9396926207859083 sin71°=0.9455185755993167 sin72°=0.9510565162951535
sin73°=0.9563047559630354 sin74°=0.9612616959383189 sin75°=0.9659258262890683
sin76°=0.9702957262759965 sin77°=0.9743700647852352 sin78°=0.9781476007338057
sin79°=0.981627183447664 sin80°=0.984807753012208 sin81°=0.9876883405951378
sin82°=0.9902680687415704 sin83°=0.992546151641322 sin84°=0.9945218953682733
sin85°=0.9961946980917455 sin86°=0.9975640502598242 sin87°=0.9986295347545738
sin88°=0.9993908270190958 sin89°=0.9998476951563913
①列表(小力选取了10对数值);
x | … | … | ||||||||||
y | … | … |
②建立平面直角坐标系(两坐标轴可视数值需要分别选取不同长度做为单位长度);
③描点.在平面直角坐标系xOy 中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点;
④连线. 根据描出的点,画出该函数的图象;
(3)结合函数的图象,写出该函数的一条性质: .
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课堂上我们在直角三角形中研究了锐角的正弦,余弦和正切函数,与此类似,在Rt△ABC中,∠C=90°,把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA=.
(1)若∠A=45°,则cot 45°=__________;若∠A=60°,则cot 60°=__________;
(2)探究tanA·cotA的值.
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已知Rt△ABC中,∠A=90°,则是∠B的( )
A. 正切; B. 余切 C. 正弦 D. 余弦
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符号tanA表示( )
A. ∠A的正弦 B. ∠A的余弦 C. ∠A的正切 D. ∠A的余切
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