已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且∀x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f...

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已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且∀x₁，x₂∈R，总有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1恒成立．
（Ⅰ）求证：f（x）+1是奇函数；
（Ⅱ）对∀n∈N*，有

，

，求：S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1及

；
（Ⅲ）求F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n（n≥2，n∈N）的最小值．

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已知函数 f（x）的定义域为，其导函数f＇（x）的图象如图所示，则对于任意x₁，x₂∈( x₁≠x₂)，下列结论正确的是
①f（x）< 0恒成立；
②(x₁－x₂)[ f（x₁）－f（x₂）] < 0；
③(x₁－x₂)[ f（x₁）－f（x₂）] > 0；
④ > ；
⑤ < ．
A．①③ B．①③④ C．②④ D．②⑤

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已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1、x2，不等式x1f(x1)＋x2f(x2)<x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则不等式f(1－x)<0的解集为(　　)
A. (－∞，0)　　 B. (0，＋∞)
C. (－∞，1)　　 D. (1，＋∞)

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已知函数f（x-1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x₁、x₂，不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，则不等式f（x+2）＜0的解集为（）
A．（1，+∞）
B．（-∞，-3）
C．（0，+∞）
D．（-，∞1）
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已知函数f（x）=8ln（1+e^x）-9x．
（1）证明：函数f（x）对于定义域内任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有：成立．
（2）已知△ABC的三个顶点A、B、C都在函数y=f（x）的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证：△ABC是钝角三角形，但不可能是等腰三角形．
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已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；
（3）假定存在x∈[0，1]，使得f（x）∈[0，1]，且f（f（x））=x，求证：f（x）=x．
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已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；
（3）假定存在x∈[0，1]，使得f（x）∈[0，1]，且f（f（x））=x，求证：f（x）=x．
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已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；
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已知函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），f（8）=3，且对任意的正数x₁、x₂，必有f=f（x₁）+f（x₂）成立，写出满足条件的一个函数为________．
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已知集合M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），定义域内的任意两个不同自变量x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立．
（1）判断函数f（x）=3x+1是否属于集合M？说明理由；
（2）若在（1，+∞）上属于M，求实数a的取值范围．
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（1）判断函数f（x）=3x+1是否属于集合M？说明理由；
（2）若在（1，+∞）上属于M，求实数a的取值范围．
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