如图是某同学对一道作业题的解题思路,课堂上师生据此展开了讨论.问题如图,已知A(1,)、B(4,0),∠OAB的平分线AC交x轴于点C,求OC的长.思路:作AD⊥OB,CE⊥AB,CF⊥OA
①A坐标→OD=1,AD=,OA=2→∠AOC=60°;
②A、B坐标→OA=2,OB=4,AB=2→∠OAB=90°;
③AC平分∠OAB→CE=CF;
④S△AOC+S△ABC=S△AOB→AO•CF+AB•CE=OA•AB→CF=3﹣;
⑤综上,Rt△OCF中,OC=﹣2.可以优化吗?
(1)同学们发现不需要证“∠OAB=90°”也能求解,简要说明理由.几位同学提出了不同的思路
①甲说:S△AOC和S△ABC的面积之比既是,又是,从而;
②乙说:在AB边上取点G,使AG=AO,连接CG,可知BG的长即为所求;
③丙说:延长AC交△AOB的外接圆于N,再利用一次函数或相似求出OC.
请你选择其中一种解法,利用图2和已有步骤完成解答.有什么收获?
(2)面积法是图形问题中确定数量关系的有效方法,请利用面积法求【解析】
如图1,⊙O与△ABC的边AC,边BA、BC的延长线AE、CF相切,切点分别为D、E、F.设△ABC的面积为S,BC=a,AC=b,AB=c,请用含S、a、b、c的式子表示⊙O的半径R,直接写出结果.
九年级数学解答题中等难度题
如图是某同学对一道作业题的解题思路,课堂上师生据此展开了讨论.问题如图,已知A(1,)、B(4,0),∠OAB的平分线AC交x轴于点C,求OC的长.思路:作AD⊥OB,CE⊥AB,CF⊥OA
①A坐标→OD=1,AD=,OA=2→∠AOC=60°;
②A、B坐标→OA=2,OB=4,AB=2→∠OAB=90°;
③AC平分∠OAB→CE=CF;
④S△AOC+S△ABC=S△AOB→AO•CF+AB•CE=OA•AB→CF=3﹣;
⑤综上,Rt△OCF中,OC=﹣2.可以优化吗?
(1)同学们发现不需要证“∠OAB=90°”也能求解,简要说明理由.几位同学提出了不同的思路
①甲说:S△AOC和S△ABC的面积之比既是,又是,从而;
②乙说:在AB边上取点G,使AG=AO,连接CG,可知BG的长即为所求;
③丙说:延长AC交△AOB的外接圆于N,再利用一次函数或相似求出OC.
请你选择其中一种解法,利用图2和已有步骤完成解答.有什么收获?
(2)面积法是图形问题中确定数量关系的有效方法,请利用面积法求【解析】
如图1,⊙O与△ABC的边AC,边BA、BC的延长线AE、CF相切,切点分别为D、E、F.设△ABC的面积为S,BC=a,AC=b,AB=c,请用含S、a、b、c的式子表示⊙O的半径R,直接写出结果.
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(8分)
数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图,正方形的边长为,为边延长线上的一点,为的中点,的垂直平分线交边于,交边的延长线于.当时,与的比值是多少?
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过作直线平行于交,分别于,,如图,则可得:,因为,所以.可求出和的值,进而可求得与的比值.
(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2) 小东又对此题作了进一步探究,得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗?如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.
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尤秀同学遇到了这样一个问题:如图1所示,已知AF,BE是△ABC的中线,且AF⊥BE,垂足为P,设BC=a,AC=b,AB=c.
求证:.
该同学仔细分析后,得到如下解题思路:
先连接EF,利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA,故,设PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分别表示出来,再在Rt△APE,Rt△BPF中利用勾股定理计算,消去m,n即可得证.
(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.
(2)利用题中的结论,解答下列问题:
在边长为3的菱形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为线段AO,DO的中点,连接BE,CF并延长交于点M,BM,CM分别交AD于点G,H,如图2所示,求的值.
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数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证:AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:在AB上截取BM=BE,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE=EF.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立。你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由。
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阅读下面材料:
问题:如图①,在△ABC中, D是BC边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°,DC=2.求BD的长.
小明同学的解题思路是:利用轴对称,把△ADC进行翻折,再经过推理、计算使问题
得到解决.
(1)请你回答:图中BD的长为________;
(2)参考小明的思路,探究并解答问题:如图②,在△ABC中,D是BC边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°,DC=2,求BD和AB的长.
【解析】(1)利用三角形的内角和和角平分线定理进行解答,(2)根据对称的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理求解
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阅读下面材料:
问题:如图①,在△ABC中, D是BC边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°,DC=2.求BD的长.
小明同学的解题思路是:利用轴对称,把△ADC进行翻折,再经过推理、计算使问题得到解决.
(1)请你回答:图中BD的长为________;
(2)参考小明的思路,探究并解答问题:如图②,在△ABC中,D是BC边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°,DC=2,求BD和AB的长.
图① 图②
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