设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，若k－1∉A，且k＋1∉A，则称k是A的一个“孤立...

设是整数集的一个非空子集，对于，如果，那么是的一个“孤立元”，给定,则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有　　　　　　 个．

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设是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称是的一个“孤立元”。给定集合，在由的三个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合个数为　　　　　 ．

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设A是整数集的一个空子集，对于如果且那么称k是A的一个“孤立元”.给定由于S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个。

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设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，若k－1∉A，且k＋1∉A，则称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有　　 个．

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设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

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设是整数集的一个非空子集，若集合满足：①；②对于，都有，此时就称集合具备性质．给定，由的3个元素构成的所有集合中，具备性质的集合共有________个．

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设是上的一个运算，是R的非空子集，若对任意，有，则称对运算封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（    ）

Ａ．自然数集        Ｂ．整数集      Ｃ．有理数集        Ｄ．无理数集

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设是R上的一个运算，A是R的一个非空子集，若对任意、A，有，则称A对运算封闭。下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是

A.  自然数集       B.   整数集      C. 有理数集         D.无理数集

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给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合.

（I）判断集合是否为闭集合，并给出证明；

（II）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由；

（III）若集合为闭集合，且,证明：.

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