在平面直角坐标系中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：若直线PB与 x轴有公共...

在平面直角坐标系中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：若直线PB与 x轴有公共点（记作M），则称直线PB为⊙A的“x关联直线”，记作.

（1）已知⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，点P（0,2），

①直线：，直线：，直线：，直线：都经过点P，在直线， ， ， 中，是⊙O的“x关联直线”的是　　　　 ；

②若直线是⊙O的“x关联直线”，则点M的横坐标的最大值是　　　 ；

（2）点A（2,0）,⊙A的半径为1，

①若P（-1,2）,⊙A的“x关联直线”：，点M的横坐标为，当最大时，求k的值；

②若P是y轴上一个动点，且点P的纵坐标，⊙A的两条“x关联直线”,是⊙A的两条切线，切点分别为C,D，作直线CD与x轴点于点E，当点P的位置发生变化时， AE的长度是否发生改变？并说明理由．

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对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD=2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为　　　　　　　　　　　　　　 ．

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如图1，在平面直角坐标系内，已知点，，，，记线段为，线段为，点是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点的直线l与，都有公共点，则称点是联络点．

例如，点是联络点．

（1）以下各点中，__________________是联络点（填出所有正确的序号）；

①；②；③．

（2）直接在图1中画出所有联络点所组成的区域，用阴影部分表示；

（3）已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，⊙M上只有一个点为联络点，

①若，求点M的纵坐标；

②求r的取值范围．

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在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．

（1）已知点P（4，﹣1）．

①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是　　 　；

②若点M在直线y＝x﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标xM的取值范围；

（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．

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对于平面直角坐标系xOy中的点和⊙O，给出如下定义：过点A的直线l交⊙O于B，C两点，且A、B、C三点不重合，若在A、B、C三点中，存在位于中间的点恰为以另外两点为端点线段的中点时，则称点A为⊙O的价值点．

（1）如图1，当⊙O的半径为1时．

①分别判断在点D（，），E（﹣1，），F（2，3）中，是⊙O的价值点有　　 　；

②若点P是⊙O的价值点，点P的坐标为（x，0），且x＞0，则x的最大值为　　 　．

（2）如图2，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于M、N两点，⊙O半径为1，直线MN上是否存在⊙O的价值点？若存在，求出这些点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由；

（3）如图3，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于G、H两点，⊙C的半径为1，且⊙C在x轴上滑动，若线段GH上存在⊙C的价值点P，求出圆心C的横坐标的取值范围．

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对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C 的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．

（1）当⊙O的半径为1时，

①分别判断在点D（， ），E（0，﹣），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有　　　　　 ；

②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；

③点P与点O的距离d满足范围___________________时，点P是⊙O的相邻点；

④点P在直线y=﹣x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标x的取值范围；

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标x的取值范围．

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在平面直角坐标系 XOY中，对于任意两点 (,)与 (,)的“非常距离”，给出如下定义： 若 ，则点 与点 的“非常距离”为 ；若 ，则点 与点的“非常距离”为 .

例如：点 (1,2)，点 (3,5)，因为 ，所以点 与点 的“非常距离”为 ，也就是图1中线段 Q与线段 Q长度的较大值（点 Q为垂直于 y轴的直线 Q与垂直于 x轴的直线 Q的交点）。

（1）已知点 A(-,0)， B为 y轴上的一个动点，①若点 A与点 B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点 B的坐标；②直接写出点 A与点 B的“非常距离”的最小值；　　

（2）已知 C是直线 上的一个动点，①如图2，点 D的坐标是（0，1），求点 C与点 D的“非常距离”的最小值及相应的点 C的坐标； ②如图3， E是以原点 O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点 C与点 E的“非常距离”的最小值及相应的点 E和点 C的坐标。

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（12分）如图1，对于平面上不大于的，我们给出如下定义：若点P在 的内部或边界上，作于点E，于点，则称为点P相对于的“点角距离”，记为．

如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于，点P为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点，且满足5，点P运动形成的图形记为图形G．

（1）满足条件的其中一个点P的坐标是　　　　　　 __，图形G与坐标轴围成图形的面积等于　　　　　　 __ ；

（2）设图形G与x轴的公共点为点A，如图3，已知，，求的值；

（3）如果抛物线经过（2）中的A，B两点，点Q在A，B两点之间的物线上（点Q可与A，B两点重合），求当取最大值时，点Q 的坐标．

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在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．

（1）如图1，⊙O的半径为2，

①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= ______ ，d（B，⊙O）= ______ ．

②已知直线l：y= 与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值．

（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=-与x轴交于点D，∠ODE=30°，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．

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对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作（，）．

已知点（，6），（，），（6，）．

（1）求（点，）；

（2）记函数（，）的图象为图形，若（，），直接写出的取值范围；

（3）的圆心为（t，0），半径为1．若（，），直接写出t的取值范围．

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