如图,⊙O中,直径CD⊥弦AB于M,AE⊥BD于E,交CD于N,连AC
(1)求证:AC=AN;
(2)若OM∶OC=3∶5,AB=5,求⊙O的半径;
九年级数学解答题中等难度题
如图,为的内接三角形,为的直径,过点作的切线交的延长线于点.
(1)求证:;
(2)过点作的切线交于点,求证:;
(3)若点为直径下方半圆的中点,连接交于点,且,,求的长.
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⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,过的中点P作⊙O的直径PG,与弦BC相交于点D,连接AG、CP、PB.
(1)如图1,求证:AG=CP;
(2)如图2,过点P作AB的垂线,垂足为点H,连接DH,求证:DH∥AG;
(3)如图3,连接PA,延长HD分别与PA、PC相交于点K、F,已知FK=2,△ODH的面积为2,求AC的长.
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⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,过的中点P作⊙O的直径PG,与弦BC相交于点D,连接AG、CP、PB.
(1)如图1,求证:AG=CP;
(2)如图2,过点P作AB的垂线,垂足为点H,连接DH,求证:DH∥AG;
(3)如图3,连接PA,延长HD分别与PA、PC相交于点K、F,已知FK=2,△ODH的面积为2,求AC的长.
【答案】(1)证明见解析;
(2)证明见解析;
(3)AC=10
【解析】
(1)利用等弧所对的圆周角相等即可求解;
(2)利用等弧所对的圆周角相等,得到角相等∠APG=∠CAP,判断出△BOD≌△POH,再得到角相等,从而判断出线平行;
(3)由三角形相似,得出比例式,△HON∽△CAM,,再判断出四边形CDHM是平行四边形,最后经过计算即可求解.
(1)∵过的中点P作⊙O的直径PG,
∴CP=PB,
∵AB,PG是相交的直径,
∴AG=PB,
∴AG=CP;
(2)证明:如图 2,连接BG
∵AB、PG都是⊙O的直径,
∴四边形AGBP是矩形,
∴AG∥PB,AG=PB,
∵P是弧BC的中点,
∴PC=BC=AG,
∴弧AG=弧CP,
∴∠APG=∠CAP,
∴AC∥PG,
∴PG⊥BC,
∵PH⊥AB,
∴∠BOD=90°=∠POH,
在△BOD和△POH中,
,
∴△BOD≌△POH,
∴OD=OH,
∴∠ODH=(180°﹣∠BOP)=∠OPB,
∴DH∥PB∥AG.
(3)如图3,作CM⊥AP于M,ON⊥DH于N,
∴∠HON=∠BOP=∠COP=∠CAP,
∴△HON∽△CAM,
∴,
作PQ⊥AC于Q,
∴四边形CDPQ是矩形,
△APH与△APQ关于AP对称,
∴HQ⊥AP,
由(1)有:HK⊥AP,
∴点K在HQ上,
∴CK=PK,
∴PK是△CMP的中位线,
∴CM=2FK=4,MF=PF,
∵CM⊥AP,HK⊥AP,
∴CM∥HK,
∴∠BCM+∠CDH=180°,
∵∠BCM=∠CAP=∠BAP=∠PHK=∠MHK,
∴∠MHK+∠CDH=180°,
∴四边形CDHM是平行四边形,
∴DH=CM=4,DN=HN=2,
∵S△ODH=DH×ON=×4×ON=2,
∴ON=,
∴OH==5,
∴AC==10.
考点:圆的综合题.
【题型】解答题
【结束】
16
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线C1:y=的顶点为M,与y轴相交于点N,先将抛物线C1沿x轴翻折,再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2:直线l:y=kx+b经过M,N两点.
(1)结合图象,直接写出不等式x2+6x+2<kx+b的解集;
(2)若抛物线C2的顶点与点M关于原点对称,求p的值及抛物线C2的解析式;
(3)若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后,与(2)中的抛物线C2存在公共点,
求3﹣4q的最大值.
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已知:,是圆的两条直径,连接,.
如图①,求证:,;
如图②,过点作于点,交圆于点,在上取一点,使,
求证:四边形是平行四边形.
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已知:如图,在中,,点是边的中点.以为直径作圆,交边于点,连接,交于点.
求证:是圆的切线;
当时,求证:;
如图,当是圆的切线,为中点,,求的长.
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如图,内接于,,是的直径,点是延长线上一点,且.
求证:是的切线;
若,求的直径.
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如图,四边形内接于,为直径,平分,与相交于.
求证:;
若直径,,求的值.
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如图,已知是的直径,直线与相切于点,过作,为垂足.
求证:;
若,,求的直径.
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如图,是的直径,是弦延长线上一点,切线平分于.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的直径.
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如图,是的直径,是的弦,直径过的中点.求证:.
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