已知下列四个命题:
①若函数在
处的导数
,则它在
处有极值;
②若不论为何值,直线
均与曲线
有公共点,则
;
③若,则
中至少有一个不小于2;
④若命题“存在,使得
”是假命题,则
;
以上四个命题正确的是________(填入相应序号).
高二数学填空题简单题
已知下列四个命题:
①若函数在
处的导数
,则它在
处有极值;
②若不论为何值,直线
均与曲线
有公共点,则
;
③若,则
中至少有一个不小于2;
④若命题“存在,使得
”是假命题,则
;
以上四个命题正确的是________(填入相应序号).
高二数学填空题中等难度题查看答案及解析
已知下列四个命题:
①若函数在
处的导数
,则它在
处有极值;
②若不论为何值,直线
均与曲线
有公共点,则
;
③若,则
中至少有一个不小于2;
④若命题“存在,使得
”是假命题,则
;
以上四个命题正确的是________(填入相应序号).
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已知命题:直线
与抛物线
至少有一个公共点;命题
:函数
在
上单调递减。若“
”为假,“
”为真,求实数
的取值范围。
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知函数有两个极值点
,
,且
,记点
,
.
(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)证明:线段与曲线
有且只有一个异于
、
的公共点.
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知曲线在点
处的切线为
,其中
.
(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)求证:直线和曲线
一定有两个不同的公共点.
【答案】(Ⅰ) 直线
;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(I)求出函数的导数,分别求出
,
,即可求得直线
的方程;(Ⅱ)联立直线与曲线的方程,令
,利用导数研究函数的单调性,即可判断函数
零点的个数,从而可证直线
和曲线
一定有两个不同的公共点.
(I)因为
所以直线的斜率
所以直线的方程为
化简得到
(Ⅱ)把曲线和直线的方程联立得
所以
所以
令
所以,
令,得到得
,
当时,
的变化情况如下表
| | | | | |
| | 0 | | 0 | |
| | 极大 | | 极小 | |
因为时,
,而
(或者说:时,
),
所以在
上有一个零点
而时,
,所以
在
上只有一个零点
又在
上没有零点
所以只有两个不同的零点,即直线
和曲线
有两个不同的公共点.
【题型】解答题
【结束】
18
已知函数,其中常数
.
(Ⅰ)若函数为单调函数,求实数
的最大值;
(Ⅱ)如果函数只有一个零点,求实数
的取值范围.
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已知曲线在点
处的切线为
,其中
.
(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)求证:直线和曲线
一定有两个不同的公共点.
【答案】(Ⅰ) 直线
;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(I)求出函数的导数,分别求出
,
,即可求得直线
的方程;(Ⅱ)联立直线与曲线的方程,令
,利用导数研究函数的单调性,即可判断函数
零点的个数,从而可证直线
和曲线
一定有两个不同的公共点.
(I)因为
所以直线的斜率
所以直线的方程为
化简得到
(Ⅱ)把曲线和直线的方程联立得
所以
所以
令
所以,
令,得到得
,
当时,
的变化情况如下表
| | | | | |
| | 0 | | 0 | |
| | 极大 | | 极小 | |
因为时,
,而
(或者说:时,
),
所以在
上有一个零点
而时,
,所以
在
上只有一个零点
又在
上没有零点
所以只有两个不同的零点,即直线
和曲线
有两个不同的公共点.
【题型】解答题
【结束】
18
已知函数,其中常数
.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)如果函数没有零点,求实数
的取值范围.
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给出下列命题:(1)导数是
在
处取得极值的既不充分也不必要条件;
(2)若等比数列的前项和
,则必有
;
(3)若的最小值为2;
(4)函数在
上必定有最大值、最小值;
(5)平面内到定点的距离等于到定直线
的距离的点的轨迹是抛物线.
其中正确命题的序号是 .
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已知函数,
.
(1)求函数的极值;
(2)当时,若直线
:
与曲线
没有公共点,求
的取值范围.
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已知函数 (
,
为自然对数的底数).
(1)求函数的极值;
(2)当时,若直线
与曲线
没有公共点,求
的最大值.
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