已知：抛物线y=ax2-2ax+c-1的顶点A在一次函数y=-x+8的图象上，该抛物线与x...

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已知：抛物线y=ax²-2ax+c-1的顶点A在一次函数y=-

x+8的图象上，该抛物线与x轴交于B、C两点（B在C的左侧），且过点D（0，4）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设H为线段OC上一点，过点H作HK∥BD，交AC于K，若△HKC的面积等于

，求直线HK的解析式；
（3）在（2）问的基础上抛物线上是否存在一点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线HK于Q，使点A、H、P、Q为等腰梯形的四个顶点？若存在求P点的坐标；若不存在请说明理由．

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已知：抛物线y=ax²-2ax+c-1的顶点A在一次函数y=-x+8的图象上，该抛物线与x轴交于B、C两点（B在C的左侧），且过点D（0，4）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设H为线段OC上一点，过点H作HK∥BD，交AC于K，若△HKC的面积等于，求直线HK的解析式；
（3）在（2）问的基础上抛物线上是否存在一点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线HK于Q，使点A、H、P、Q为等腰梯形的四个顶点？若存在求P点的坐标；若不存在请说明理由．
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在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若M为对称轴与x轴交点，且DM=2AM．
①求二次函数解析式；
②当t﹣2≤x≤t时，二次函数有最大值5，求t值；
③若直线x=4与此抛物线交于点E，将抛物线在C，E之间的部分记为图象记为图象P（含C，E两点），将图象P沿直线x=4翻折，得到图象Q，又过点（10，﹣4）的直线y=kx+b与图象P，图象Q都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．

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在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若M为对称轴与x轴交点，且DM=2AM．
①求二次函数解析式；
②当t﹣2≤x≤t时，二次函数有最大值5，求t值；
③若直线x=4与此抛物线交于点E，将抛物线在C，E之间的部分记为图象记为图象P（含C，E两点），将图象P沿直线x=4翻折，得到图象Q，又过点（10，﹣4）的直线y=kx+b与图象P，图象Q都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．

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已知抛物线F₁：y=ax²+2ax+3a的顶点为M．
（1）若M在双曲线上，求此抛物线解析式．
（2）将F₁绕点M旋转180°后的抛物线为F₂，
①若F₂与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知△ABC为直角三角形，求a的值．
②若F₂与直线y=ax-3a交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆经过点M，求a的值．
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已知二次函数y=ax²-2ax+c的图象与x轴交于A（-1，0）、B两点，其顶点为M．
（Ⅰ）根据图象，解不等式ax²-2ax+c＞0；
（Ⅱ）若点D（-3，6）在二次函数的图象上，试问：线段OB上是否存在N点，使得∠ADB=∠BMN？若存在，求出N点坐标；若不存在，说明理由．

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在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．　　
（1）求抛物线的对称轴及线段AB的长；　　
（2）抛物线的顶点为P，若∠APB=120°，求顶点P的坐标及a的值；　　
（3）若在抛物线上存在一点N，使得∠ANB=90°，结合图象，求a的取值范围．

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（2009•通州区二模）已知二次函数y=ax²-2ax+b（a≠0）的图象与x轴分别交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，直线y=-x+b经过点B、C，且B点坐标为（3，0）．
（1）求二次函数解析式；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以点P、B、C、A为顶点的四边形是梯形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

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（2002•内江）如图，一次函数y=-x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点Q，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、Q两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），△ABC三内角∠A、∠B、∠C的对边为a，b，c．若关于x的方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有两个相等实数根，且a=b；
（1）试判定△ABC的形状；
（2）当时求此抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点P，使S_△ABP=S_{四边形ACBQ}？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

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（2002•内江）如图，一次函数y=-x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点Q，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、Q两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），△ABC三内角∠A、∠B、∠C的对边为a，b，c．若关于x的方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有两个相等实数根，且a=b；
（1）试判定△ABC的形状；
（2）当时求此抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点P，使S_△ABP=S_{四边形ACBQ}？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

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如图1，一次函数y＝﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、D两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），若；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连结AC、BD，问在x轴上是否存在一个动点Q，使A、C、Q三点构成的三角形与△ABD相似．如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，且在直线AD下方，（点P不与点A、点D重合），过点P作y轴的平行线l与直线AD交于点M，点N在直线AD上，且满足△MPN∽△ABD，求△MPN面积的最大值．

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