已知曲线在点处的切线为，其中.（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求证：直线和曲线一定有两个不同的公...

已知曲线在点处的切线为，其中.

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）求证：直线和曲线一定有两个不同的公共点.

【答案】(Ⅰ) 直线 ;(Ⅱ)见解析.

【解析】试题分析：（I）求出函数的导数，分别求出，，即可求得直线的方程；（Ⅱ）联立直线与曲线的方程，令，利用导数研究函数的单调性，即可判断函数零点的个数，从而可证直线和曲线一定有两个不同的公共点.

（I）因为

所以直线的斜率

所以直线的方程为

化简得到

(Ⅱ)把曲线和直线的方程联立得

所以

所以

令

所以，

令，得到得，

当时，的变化情况如下表

因为时，，而

（或者说：时，），

所以在上有一个零点

而时，，所以在上只有一个零点

又在上没有零点

所以只有两个不同的零点，即直线和曲线有两个不同的公共点.

【题型】解答题
【结束】
18

已知函数，其中常数.

（Ⅰ）若函数为单调函数，求实数的最大值；

（Ⅱ）如果函数只有一个零点，求实数的取值范围.

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已知曲线在点处的切线为，其中.

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）求证：直线和曲线一定有两个不同的公共点.

【答案】(Ⅰ) 直线 ;(Ⅱ)见解析.

【解析】试题分析：（I）求出函数的导数，分别求出，，即可求得直线的方程；（Ⅱ）联立直线与曲线的方程，令，利用导数研究函数的单调性，即可判断函数零点的个数，从而可证直线和曲线一定有两个不同的公共点.

（I）因为

所以直线的斜率

所以直线的方程为

化简得到

(Ⅱ)把曲线和直线的方程联立得

所以

所以

令

所以，

令，得到得，

当时，的变化情况如下表

因为时，，而

（或者说：时，），

所以在上有一个零点

而时，，所以在上只有一个零点

又在上没有零点

所以只有两个不同的零点，即直线和曲线有两个不同的公共点.

【题型】解答题
【结束】
18

已知函数，其中常数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）如果函数没有零点，求实数的取值范围.

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已知函数．

（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间上的最大值；

（3）若函数有两个不同的零点， ，求证： ．

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已知曲线

（1）若，求经过点且与曲线只有一个公共点的直线方程：

（2）若，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论如何变化，这两个点都不在曲线上；

（3）若曲线与线段有公共点，求的最小值。

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已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，若，为曲线上的两个不同点，满足，且

，使得曲线在处的切线与直线AB平行，求证：．

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（本小题满分13分）

已知直线，圆.

(Ⅰ)证明：对任意，直线恒过一定点N，且直线与圆C恒有两个公共点；

(Ⅱ)设以CN为直径的圆为圆D（D为CN中点），求证圆D的方程为：

（Ⅲ）设直线与圆的交于A、B两点，与圆D:交于点（异于C、N），当变化时，求证为AB的中点.

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(本小题满分12分)已知双曲线的左、右顶点分别为,点,是双曲线上不同的两个动点.

（1）求直线与交点的轨迹E的方程

（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线和与轨迹E都只有一个公共点，且，求的值.

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设命题：曲线上任一点处的切线的倾斜角都是锐角；命题：直线与曲线有两个不同的公共点；若命题和命题中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．

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设命题：曲线上任一点处的切线的倾斜角都是锐角；命题：直线与曲线有两个不同的公共点. 若命题和命题中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．

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已知圆，直线

（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点A、B；

（2）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；

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